Derivimi dhe integrimi

Gjej ushtrimin sipas numrit ose faqes dhe hap kërkesën. Zgjidhjet hap pas hapi dhe sqarimet nga Mësuesi AI janë në aplikacion.

1. Ushtrime 4.4B

   2Ushtrimi 2Vija y = x + 3/x, x 0, ka një pingule që është paralele me drejtëzën y = 3x + 4. Gjeni pikën ku kjo pingule e pret vijën.Faqja 106
2. 3Ushtrimi 3a) Gjeni ekuacionin e pingules ndaj vijës y = x² - 3x + 1 në pikën A, ku x = 1. b) Gjeni pikën B ku pingulja në A pret përsëri vijën. c) Vërtetoni që drejtëza AB nuk është pingule me vijën në pikën B.Faqja 106
3. 4Ushtrimi 4Vijat y = (2x² + 1)/2 dhe y = (1 + 4x)/x, x ≠ 0 priten në pikën (a, b). Në këtë pikë, drejtëza që është tangjente me njëren vijë është pingule me tjetrën. a) Përdorni dy metoda për të gjetur koeficie…Faqja 106
4. 5Ushtrimi 5a) Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës y = 2 - 9/x në pikën me abshisë x = 3. b) Gjeni ekuacionin e pingules ndaj vijës në të njëjtën pikë. c) Njehsoni syprinën e trekëndëshit të formuar nga tan…Faqja 106
5. 6Ushtrimi 6Një vijë kubike me ekuacion y = x³ + x² + 2x + 1 ka tangjente në pikën x = 0. a) Gjeni ekuacionin e kësaj tangjenteje. b) Gjeni koordinatat e pikës B ku tangjentja e pret vijën përsëri. c) Gjeni koor…Faqja 106
6. 7Ushtrimi 7Një parabolë ka ekuacionin y = 2x² - 3x + 1. a) Gjeni ekuacionin e drejtëzës paralele me drejtëzën y = 5x dhe tangjente ndaj parabolës. b) Gjeni ekuacionin e pingules në pikën e tangjencës.Faqja 106
7. 8Ushtrimi 8Një pikë (p, q) e kuadrantit të parë ndodhet në vijën me ekuacion y = x³ + 1. Tangjentja në këtë pikë është pingule me drejtëzën y = -x/12. a) Gjeni vlerat e p dhe q. b) Cili është ekuacioni i tangje…Faqja 106
8. 9Ushtrimi 9Një pingule me vijën me ekuacion y = x + 18/x, ku x 0, është paralele me drejtëzën y = x. a) Gjeni koordinatat e pikës, ku pingulja e pret vijën me një kënd të drejtë. b) Gjeni ekuacionin e tangjente…Faqja 106
9. 10Ushtrimi 10Për secilën nga parabolat e dhëna më poshtë: i. Shprehni ekuacionin në trajtën y = b ± (x + a)² ii. Më pas, përcaktoni koordinatat e kulmit të parabolës. iii. Gjeni ekuacionin e tangjentes dhe pingul…Faqja 107
10. 11Ushtrimi 11Një pasqyrë parabolike e ka prerjen tërthore siç tregohet në figurën e mëposhtme. Dega e parabolës mbi boshtin Ox e ka ekuacionin y = 10√(x). Dega e parabolës nën boshtin Ox e ka ekuacionin y = -10√(…Faqja 107
11. 12Ushtrimi 12Parabola y = 4 + 2x - 2x² e pret boshtin Oy në pikën (p, q). a) Gjeni vlerat e p dhe q. b) Gjeni koeficientin këndor të tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. c) Gjeni ekuacionin e pingules në këtë pikë…Faqja 107
12. 13Ushtrimi 13a) Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës y = (360/x) (x ≥ 1), në pikën me abshisë x = 30. b) Gjeni ekuacionin e pingules ndaj vijës ne pikën me abshise x = 60. c) i. Në cilën pikë të vijës, koefic…Faqja 107

13. Ushtrime 4.5A

    1Ushtrimi 1Për çdo vijë, gjeni koordinatat e pikave ku derivati është 0 (dy/(dx) = 0) dhe përcaktoni natyrën e tyre duke shqyrtuar shenjën e derivatit të parë. Argumentoni zgjidhjen. a) y = x² + 4x - 5 b) y = x…Faqja 111
14. 2Ushtrimi 2Vija me ekuacion y = x³ - 6x² ka dy pika ekstremumi. a) Gjeni koordinatat e këtyre dy pikave. Argumentoni zgjidhjen. b) Përdorni derivatin e dytë për të përcaktuar natyrën e secilës prej tyre.Faqja 111
15. 3Ushtrimi 3Gjeni koordinatat e pikave të ekstremumeve për y = 2x³ + 30x² + 1 dhe përcaktoni natyrën e tyre. Argumentoni zgjidhjen.Faqja 111
16. 4Ushtrimi 4Jepet funksioni f, ku f(x) = 2x³ - 9x² + 12x + 7. a) Derivoni f(x) b) Vija y = f(x) ka dy pika ekstremumi. Gjeni koordinatat e dy pikave dhe percaktoni natyren e tyre. Argumentoni zgjidhjen. c) Perse…Faqja 111
17. 5Ushtrimi 5Funksioni f, ku f(x) = 3x⁴ + 8x³ - 6x² - 24x - 1 ka tri pika ekstremumi. a) Tregoni që pikat ekstremume kanë abshisa x = 1, x = -1, x = -2. b) Gjeni koordinatat e tri pikave ekstremume. c) Perdorni d…Faqja 111
18. 6Ushtrimi 6Funksioni f, ku f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 36x², ka tri pika ekstremumi. Në figurën e mëposhtme është skicuar grafiku i funksionit f. a) Grafiku tregon që pikat e ekstremumeve mund të gjenden për x = -2, x =…Faqja 111
19. 7Ushtrimi 7Një funksion, f, është përcaktuar i tillë që f(x) = 8x + 72/x, x 0. a) Tregoni që e vetmja pikë ekstremumi në vijën y = f(x) është ajo me abshisë x = 3. b) Gjeni koordinatat e kësaj pike dhe përcakto…Faqja 111

20. Ushtrime 4.5B

    1Ushtrimi 1Dy numra x dhe (1000 - x) e kanë shumën 1000. Sa duhet të jenë numrat që prodhimi i tyre të marrë vlerën më të madhe?Faqja 114
21. 2Ushtrimi 2Prodhimi i dy numrave të plotë pozitivë x dhe 3600/x është 3600. Shuma e tyre është më e vogla e mundshme. Cilët janë këta dy numra?Faqja 114
22. 3Ushtrimi 3Dy numra, x dhe y, e kanë shumën 12. Për cilat vlera të x dhe y shprehja x²y merr vlerën më të madhe?Faqja 114
23. 4Ushtrimi 4Një model kuboidi është formuar me tel si në figurën në krahë. Gjatësia e përgjithshme e telit të përdorur është 600 cm. a) Shprehni y në varësi të x. b) Shprehni vëllimin e kuboidit në lidhje me x.…Faqja 114
24. 5Ushtrimi 5Një litar me gjatësi 16 m është përdorur për të formuar tri brinjët e një drejtkëndëshi, njëra brinjë e të cilit mbështetet përgjatë një muri, siç tregohet në figurën e mëposhtme. a) Gjeni x dhe y në…Faqja 114
25. 6Ushtrimi 6Pika A(x, y) e kuadrantit të parë ndodhet në drejtëzën me ekuacion y = 6 - 5x. Një drejtkëndësh me dy brinjë mbi boshtet koordinative ka një kulm në pikën A. a) Shprehni syprinën e drejtkëndëshit në…Faqja 114
26. 7Ushtrimi 7Kemi një fletë metali në formë katrore, me brinjë 12 cm. Me të do të formojmë një kuti të hapur sipër. Në secilin prej cepave të fletës priten katrorë të vegjël dhe anët e saj palosen sipër, duke for…Faqja 114
27. 8Ushtrimi 8Një kuti për lëng frutash ka formën e një kuboidi me bazë katrore. Ajo duhet të mbajë 1000 ml lëng frutash. Le të jetë x cm gjatësia e brinjës së katrorit të bazës dhe h cm lartësia e kutisë. a) Shpr…Faqja 114
28. 9Ushtrimi 9Një kuti cilindrike do të mbajë 440 ml lëng frutash. a) Shprehni lartësinë e saj h në lidhje me rrezen e bazës x. b) Syprina e përgjithshme e cilindrit me kapak dhe një bazë jepet me formulën 2π x² +…Faqja 114

29. Ushtrime 4.6A

    1Ushtrimi 1Gjeni integralin për secilin nga funksionet e mëposhtme në lidhje me x, duke mos harruar konstanten e integrimit. a) 10 b) 3x c) 6x² d) 12x³ e) 25x⁴ f) x⁶ g) 3x+1 h) 5-4x i) 3x²+6x+2 j) 12x²+6 k) 3-4…Faqja 118
30. 2Ushtrimi 2Gjeni integralet e mëposhtme. a) ∫ 1 dx b) ∫ x dx c) ∫ (6x+7)dx d) ∫ (3-2x)dx e) ∫ (x²+x+1)dx f) ∫ (1-4x-3x²)dx g) ∫ (4x³+2x-7)dx h) ∫ (2+9x²-12x³)dx i) ∫√(x) dx j) ∫∛(x) dx k) ∫√(1/x) dx l) ∫ x^(2/3…Faqja 118
31. 3Ushtrimi 3Gjeni integralet e mëposhtme. a) ∫πdx b) ∫ (3π + x) dx c) ∫ (x²sin 30^(∘)) dx d) ∫ (x² + 6x) dx e) ∫ (4x² + 4x - 28) dx f) ∫( x² + (1/x²)) dx g) ∫( √(x) - (2/(√(x)))) dx h) ∫( 8x - (3/x²)) dx i) ∫( 1…Faqja 118
32. 4Ushtrimi 4Në ushtrimet e mëposhtme janë dhënë derivati f'(x) i funksionit f dhe një pikë e vijës me ekuacion y = f(x). Gjeni funksionin f. a) f'(x) = 6x² në (1,5) b) f'(x) = 12x³ në (2,18) c) f'(x) = 5√(x) në…Faqja 118
33. 5Ushtrimi 5Gjeni funksionin f për f'(x) dhe pikën (x, f(x)) të dhënë. a) f'(x) = 4x + 3; (2,4) b) f'(x) = 10; (1,12) c) f'(x) = 3x² + 2x + 1; (-2,1) d) f'(x) = 4x + 3√(x); (1,5)Faqja 118
34. 6Ushtrimi 6Rrethoni përgjigjen e saktë: Funksioni y = -x² + 1 është primitivë e funksionit: A) y = 2x ; B) y = 2x + 1 ; C) y = -2x + 1 ; D) y = -2x .Faqja 119

35. Ushtrime 4.6B

    1Ushtrimi 1Duke patur parasysh që shpejtësia e ndryshimit të P në lidhje me t është 7, dhe kur t = 4, P = 2: a) shprehni P në lidhje me t; b) gjeni P kur t = 5; c) gjeni t kur P = 16.Faqja 120
36. 2Ushtrimi 2Dihet që f'(x) = 1 - 6x dhe që f(3) = 6. a) Njehsoni f(-2). b) Për çfarë vlere të x, f(x) = 0?Faqja 120
37. 3Ushtrimi 3Kepleri ishte astronomi që studioi lidhjen ndërmjet periodave orbitale (në y vjet) të planetëve me largesën mesatare r të tyre nga Dielli (të matur në njësi astronomike, Nj.A). Shpejtësia me të cilën…Faqja 120
38. 4Ushtrimi 4Shpejtësia me të cilën bie niveli i ujit h (metra), në një rezervuar në varësi të kohës jepet me formulën dh/(dt) = (8/3)t³ - 4t, t 0, ku t është koha në ditë. Kur t = 0 kemi që h = 4. a) Shprehni h…Faqja 120
39. 5Ushtrimi 5Derivati i dytë i një funksioni është dhënë me formulën d²y/(dx²) = 12x + 1. Kur x = 1, dy/(dx) = 4. a) Gjeni një shprehje per dy/(dx) ne lidhje me x b) Kur x = 1, y = 1/2. Cila është vlera e y kur x…Faqja 120
40. 6Ushtrimi 6Derivati i dytë i një funksioni është dhënë me formulën d²y/(dx²) = 6. Kur x = 2, y = 1 dhe dy/(dx) = 3. Cila është vlera e y kur x = 4?Faqja 120
41. 7Ushtrimi 7a) Një grimcë elementare lëviz në boshtin Ox në mënyrë të tillë që nxitimi i saj a është një funksion i kohës, a(t) = 2t. Në pikënisje t = 0, grimca është 2 cm në të djathtë të origjinës duke lëvizur…Faqja 120
42. 8Ushtrimi 8Një gur shkëputet nga një shkëmb në buzë të detit. Nxitimi i tij drejt sipërfaqes së ujit, pasi ka rënë 90 m, është 5 m/s². Le të jetë t (sekonda) koha që nga shkëputja e gurit në rënie të lirë. Le t…Faqja 120
43. 9Ushtrimi 9Shpejtësia e një grimce elementare është dhënë me formulën v(t) = 4 + 3t, ku largesa është matur në metra dhe koha në sekonda. Pas një sekonde, grimca është 6 m në të djathtë të origjinës. a) Prej ku…Faqja 120

44. Ushtrime 4.7A

    1Ushtrimi 1Njehsoni integralet e mëposhtme. Argumentoni përgjigjen për secilin rast. a) ∫₂⁴(x+1)dx b) ∫₁⁵(2x-1)dx c) ∫₀³(4-x)dx d) ∫₋₂⁶(1-3x)dx e) ∫₋₂³7dx f) ∫₁⁷πdx g) ∫₁³(π+1)dx h) ∫₀³(3x²+4x+1)dx i) ∫₋₃³(x²-6…Faqja 123
45. 2Ushtrimi 2Gjeni syprinat e zonave të hijezuara në secilën nga figurat e mëposhtme. Argumentoni përgjigjen për secilin rast.Faqja 123

46. Ushtrime 4.8A

    1Ushtrimi 1Gjeni syprinat e zonave të hijezuara në secilën nga figurat e mëposhtme. Argumentoni përgjigjen për secilin rast.Faqja 128
47. 2Ushtrimi 2Të njehsohen syprinat e figurave të kufizuara nga: a) drejtëzat y = x, y = 0, x = 1 dhe x = 2; b) drejtëzat y = -x, y = 0, x = -1 dhe x = -2; c) drejtëzat y = 2x + 1, y = 0, x = 2 dhe x = 3; d) vija…Faqja 128
48. 3Ushtrimi 3Të njehsohen syprinat figurave të kufizuara nga: a) drejtëzat y = x, y = 0, x = -1, x = -2; b) drejtëzat y = -x, y = 0, x = 1, x = 2; c) vija y = x² - 2x - 3 dhe drejtëzat y = 0, x = 1, x = 2; d) vij…Faqja 128