Derivimi dhe integrimi

Gjej ushtrimin sipas numrit ose faqes dhe hap kërkesën. Zgjidhjet hap pas hapi dhe sqarimet nga Mësuesi AI janë në aplikacion.

1. Ushtrime 4.1A

   1Ushtrimi 1Përdorni metodën e treguar në shembullin 1 për të gjetur koeficientët këndorë të tangjenteve ndaj grafikëve të funksioneve të mëposhtme në pikat e dhëna: a. y = x² në x = 3 b. y = x² në x = 4 c. y =…Faqja 89
2. 2Ushtrimi 2Përdorni përkufizimin për të gjetur derivatet e funksioneve të mëposhtme dhe më pas koeficientët këndorë të tangjenteve ndaj grafikëve të tyre në pikat e dhëna: a. y = x² ne piken (1, 1) b. y = 3x² n…Faqja 89
3. 3Ushtrimi 3Përdorni përkufizimin për të gjetur koeficientët këndorë të tangjenteve ndaj grafikëve të funksioneve të mëposhtme në pikat e dhëna: a. y = 2x³ ne piken ku x = 2 b. y = 3x² + 2 ne piken (3, 29) c. y…Faqja 89
4. 4Ushtrimi 4Me anë të përkufizimit, gjeni derivatet e funksioneve, f, të mëposhtme: a. f(x) = 2x² b. f(x) = 4x² c. f(x) = 6x² d. f(x) = (1/2)x² e. f(x) = x² + 1 f. f(x) = 2x - 3 g. f(x) = (1/3)x³ h. f(x) = 2x³ +…Faqja 89
5. 5Ushtrimi 5a Me anë të përkufizimit, gjeni derivatet e funksioneve, f, të mëposhtme: i. f(x) = x + x² ii. f(x) = x² + x + 1 iii. f(x) = x² + x - 5 iv. f(x) = x² + 2x + 3 v. f(x) = x² - 3x - 1 vi. f(x) = 2x² + 5…Faqja 89
6. 6Ushtrimi 6Gjeni derivatet e funksioneve të mëposhtme. a y = 2x³ - 3 b y = 3x⁴ - 2x² c y = 2x⁵ d y = 1 - x³ e y = x² - 2x³ f y = x - x² + x³Faqja 89

7. Ushtrime 4.1B

   1Ushtrimi 1Në cilën pikë të vijës y = 5x², koeficienti këndor i tangjentes është sa vlera e dhënë më poshtë? Argumentoni përgjigjen. a. 20 b. 100 c. 0,5 d. Sa gjysma e vlerës në pikën (2, 20) e. Sa një e treta…Faqja 90
8. 2Ushtrimi 2Tregoni dy pika të vijës y = x³, ku koeficienti këndor i tangjentes është i barabartë me vlerën e dhënë më poshtë? Argumentoni përgjigjen. a. 3 b. 12 c. 27 d. 0,03 e. 1/3 f. 1,47Faqja 90
9. 3Ushtrimi 3Për cilën vlerë të x, çiftet e vijave të mëposhtme kanë të njëjtën pjerrësi (koeficient këndor)? Argumentoni përgjigjen. a. y = x² dhe y = 2x b. y = 2x² dhe y = 12x c. y = 3x² dhe y = 15x d. y = ax²…Faqja 90
10. 4Ushtrimi 4Për cilat vlera të x, çiftet e vijave të mëposhtme kanë të njëjtën pjerrësi (koeficient këndor)? Argumentoni përgjigjen. a. y = x³ dhe y = x² + 5x b. y = x³ dhe y = 3x² + 9x c. y = x³ dhe y = 2x² - x…Faqja 90
11. 5Ushtrimi 5a. Gjeni derivatin e f kur f(x) është: 1, x, x², x³, x⁴ dhe nxirrni një rregull të përgjithshëm për derivatin e y = xⁿ. b. Gjeni derivatin e f kur f(x) është: 2, 4x, 3x², 5x³, -2x⁴ dhe nxirrni një rr…Faqja 90
12. 6Ushtrimi 6A mund të tregoni, duke përdorur përkufizimin e derivatit, që: a) vija y = 1/x e ka koeficientin këndor të tangjentes -4 në pikën me abshisë x = 1/2? b) derivati i y = 1/x në pikën x është -1/x²?Faqja 90

13. Ushtrime 4.2A

    1Ushtrimi 1Gjeni derivatet e funksioneve të mëposhtme y = f(x), ku f(x) është: a) 3x⁷ b) 6x⁴ c) 5x d) 8 e) -4 f) 1/3 g) -2x⁵ h) -x⁷ i) 2x⁻¹ j) -x⁻³ k) x^(1/2) l) x^(2/3) m) 5x^(5/3) n) -x^(-1/4) o) 0Faqja 92
14. 2Ushtrimi 2Gjeni derivatet e funksioneve të mëposhtme y = f(x), ku f(x) është: a) √(x) b) ∛(x) c) ⁵√(x) d) √(x³) e) ∛(x²) f) ∛(3x) g) 1/x h) 3/x² i) -6/x⁴ j) 1/(√(x)) k) 3/(√(x³)) l) 1/(√(5)) m) πFaqja 92
15. 3Ushtrimi 3Gjeni dy/(dx) kur y = a)x² + 2x - 3 b) 1 - 2x - 5x² c) x³ + 2x² - 3x + 1 d) x² - x⁴ + π e) x - 1/x f) 3 + x + 2/x² g) x³ - 1/x³ + 3/x + 5 h) 10/x - 1 - x/10 i) √(x) + 1/(√(x)) j) x⁵ - 5/(∛(x)) k) 3 +…Faqja 92
16. 4Ushtrimi 4Për secilën kërkesë nga (a) te (d): - i shprehni me anë të x, pjerrësinë e funksionit në pikën me abshisë x; - ii gjeni vlerën e koeficientit këndor të tangjentes në pikën e dhënë. a) Është dhënë f(x…Faqja 92
17. 5Ushtrimi 5Shkruani një shprehje në lidhje me x për dy/(dx). Njehsoni pjerrësinë (koeficientin këndor të tangjentes) për secilën nga vijat e mëposhtme, në pikën e dhënë. a) y = 2x² - 5x + 1 në (1, -2) b) y = 1…Faqja 92
18. 6Ushtrimi 6Për çdo çift funksionesh, gjeni funksionin që ka pjerrësinë më të madhe në pikën e dhënë. a) y = x² dhe y = 20 - x në pikën (4, 16) b) y = x² + 3x - 8 dhe y = 6 - 2x në pikën (2, 2) c) y = 2x² + 13x…Faqja 93
19. 7Ushtrimi 7Jepet vija me ekuacion y = x³ + 5x² - 8x + 1. Cili prej pohimeve të mëposhtme është i vërtetë? a) dy/(dx) > 4 kur x = 1 b) dy/(dx) < 0 kur x = 0 c) dy/(dx) = 0kur x = 4 d) dy/(dx) > 0 kur x = -2 e) d…Faqja 93

20. Ushtrime 4.2B

    1Ushtrimi 1Derivoni funksionet e mëposhtme të trajtës y = f(x) në lidhje me x, kur: a) f(x) = x(x + 1) b) g(x) = (x - 1)(x + 1) c) h(x) = x²(1 - 3x) d) k(x) = √(x)(x + 3) e) m(x) = 3x(2x² + x - 3) f) n(x) = x(√…Faqja 93
21. 2Ushtrimi 2Gjeni dy/(dx) për funksionet e dhëna. a) y=x b) y=x+√(x) c) y=(x+√(x))/x d) y=(1-x-2√(x))/x e) y=(x-x²)/(√(x)) f) y=(1+2√(x))/x g) y=(x²+3x-1)/x h) y=1/x+1/x² i) y=1/(∛(x))Faqja 94
22. 3Ushtrimi 3Derivoni në lidhje me x secilin nga funksionet e mëposhtme të trajtës y = f(x), kur: a) f(x) = (x - 3)(x + 1) b) g(x) = (x - 4)(x - 5) c) h(x) = (1 - x)(3 + x) d) j(x) = (x + 1)(2x + 1) e) k(x) = x(x…Faqja 94
23. 4Ushtrimi 4Grafiku i mëposhtëm tregon pjesën e vijës me ekuacion y = (x - 1)(x - 7), që ndodhet afër origjinës së koordinatave. a) Gjeni dy/(dx). b) Gjeni pikën ku vija e pret boshtin Ox. c) Gjeni pikat ku pjer…Faqja 94
24. 5Ushtrimi 5Grafiku i mëposhtëm paraqet vijën me ekuacion y = (10x² + 40)/x, për 0,5 ≤ x ≤ 5,5. a) Gjeni dy/(dx). b) i) Për cilën vlerë të x, pjerrësia e vijës është e barabartë me zero? Argumentoni përgjigjen.…Faqja 94
25. 6Ushtrimi 6Vërtetoni që pjerrësia e funksionit y = (x + 1)⁴ në pikën (1, 16) është 32.Faqja 94
26. 7Ushtrimi 7a) Gjeni derivatin e funksionit y = (x - 1)(x + 2). b) Gjeni pjerrësinë e vijës y = (x - 1)(x + 2) në pikën me abshisë x = 5. c) Në cilën pikë të vijës, pjerrësia është e barabartë me zero? d) Një dr…Faqja 94

27. Ushtrime 4.3A

    1Ushtrimi 1Njehsoni shpejtësitë e ndryshimit të funksioneve të mëposhtme, në pikat e dhëna. Argumentoni përgjigjet. a) f(x) = x² + 10x në x = 4 b) g(x) = x³ + 2x² + x + 1 në x = -1 c) h(x) = 5x + 6 në x = 1 d)…Faqja 98
28. 2Ushtrimi 2Gjeni shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë së ndryshimit, (d² y)/(dx²), për funksionet e mëposhtme, në pikat e dhëna. Argumentoni përgjigjet. a) y = x³ + x në x = 3 b) y = 10/x në x = 2 c) y = 1/(…Faqja 98
29. 3Ushtrimi 3Duke përdorur derivatin e funksioni të çdo vije të dhënë më poshtë, përcaktoni ku është vija: i) konstante ii) rritëse iii) zbritëse a) y = x² + 4x - 12 b) y = 3 - 5x - 2x² c) y = x² - 1 d) y = x³/3…Faqja 98
30. 4Ushtrimi 4Gjeni shprehjet për dy/(dx) dhe, për secilin nga çiftet e mëposhtme, përcaktoni cili funksion e ka më të madhe shpejtësinë e ndryshimit në lidhje me x, në vlerat e dhëna të x. a) y = x² dhe y = -x² n…Faqja 99

31. Ushtrime 4.3B

    1Ushtrimi 1Një taksist e përcakton tarifën që u kërkon pasagjerëve sipas formulës C(x) = 250x + 60, ku C është kostoja në lekë dhe x është largësia e udhëtimit në km. Gjeni shpejtësinë e ndryshimit të pagesës s…Faqja 100
32. 2Ushtrimi 2Një bllok akulli shkrihet në mënyrë të tillë që masa M e akullit, t minuta pas nxjerrjes nga frigoriferu, jepet me formulën M(t) = 500 - 7.5t a) Gjeni dM/(dt), shpejtësinë me të cilën masa ndryshon.…Faqja 100
33. 3Ushtrimi 3Vëllimi i sferës është V = (4/3)π r³. Syprina e saj është 4π r². Një flluskë sferike është duke u zgjeruar. a) Gjeni shprehjen e shpejtësisë së ndryshimit të vëllimit të saj, kur rrezja rritet. b) Nj…Faqja 101
34. 4Ushtrimi 4Një parabolë e ka ekuacionin y = 35 - 2x - x² a) Gjeni shpejtësinë e ndryshimit të y në lidhje me x, kur x është i barabartë me: i) -2 ii) 2 iii) 5 b) Kur është e barabartë me zero shpejtësia e ndrys…Faqja 101
35. 5Ushtrimi 5Një parashutist u hodh nga një avion në ngjitje. Lartësia e tij h m nga toka jepet me formulën h = 4000 + 3t - 4,9t², ku t sekonda është koha që nga hedhja prej avionit. a) Gjeni dh/(dt), shpejtësinë…Faqja 101
36. 6Ushtrimi 6Një top golfi u godit në Hënë në vitin 1974. Lartësia e tij h (m) jepet nga ekuacioni h = 10t - 1,62t², ku t sekonda është koha që nga çasti i goditjes së topit. a) Njehsoni dh/(dt), shpejtësinë me t…Faqja 101
37. 7Ushtrimi 7Një cisternë mbushet përsëri pasi është zbrazur plotësisht. Kur hapet një valvul, vëllimi i ujit V ml, në cisternë pas t sekondash që nga çasti i hapjes së saj jepet me formulën V = 360t - 6t². a) Sh…Faqja 101
38. 8Ushtrimi 8Për secilin nga funksionet e mëposhtme: i gjeni një shprehje për shpejtësinë e ndryshimit të y në lidhje me x; ii gjeni këtë shpejtësi ndryshimi, kur x = 0; iii duke shprehur shpejtësinë e ndryshimit…Faqja 101
39. 9Ushtrimi 9Derivati i një funksioni është dy/(dx) = 8x - x² - 17. Tregoni që funksioni është gjithmonë zbritës.Faqja 101
40. 10Ushtrimi 10Një vijë e ka ekuacionin y = x⁴ + 1/x², x ≥ 1 a) Gjeni i dy/(dx) ii d²y/(dx²) b) Tregoni që pjerrësia e vijës është funksion rritës.Faqja 101

41. Ushtrime 4.4A

    1Ushtrimi 1Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj secilës prej vijave të mëposhtme, në pikën e dhënë. Argumentoni përgjigjen. a) y = 2x² + 3x - 1 në (1, 4) b) y = 3 - x - x² në (-2, 1) c) y = 2x³ + 3x² në (1, 5) d)…Faqja 103
42. 2Ushtrimi 2Gjeni ekuacionin e pingules ndaj secilës prej vijave të mëposhtme, në pikën e dhënë. Argumentoni përgjigjen. a) y = x² + 2x - 7 në (2, 1) b) y = 4 - 5x - x² në (-3, 10) c) y = 3 - x³ në (2, -5) d) y…Faqja 103
43. 3Ushtrimi 3Një vijë e ka ekuacionin y = 3x². a) Gjeni pikën e vijës me abshisë 3. b) Gjeni pjerrësinë e vijës në këtë pikë. Argumentoni përgjigjen. c) Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës në këtë pikë.Faqja 103
44. 4Ushtrimi 4Një drejtëz është tangjente me vijën y = x² + 3x - 1 në pikën (1, k). a) Sa është vlera e k? b) Sa është koeficienti këndor i tangjentes ndaj vijës në këtë pikë? Argumentoni përgjigjen. c) Gjeni ekua…Faqja 103
45. 5Ushtrimi 5Një vijë e ka ekuacionin y = x² + 7x - 9. a) Gjeni pikën e vijës me abshisë 1. b) Njehsoni koeficientin këndor të tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. Argumentoni përgjigjen. c) Gjeni koeficientin kën…Faqja 103
46. 6Ushtrimi 6Një vijë e ka ekuacionin y = 2x + 2/x. a) Gjeni pikën e vijës me abshisë 2. b) Njehsoni koeficientin këndor të tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. Argumentoni përgjigjen. c) Gjeni koeficientin këndor…Faqja 103
47. 7Ushtrimi 7Një parabolë e ka ekuacionin y = x² + 6x + 5. a) i. Gjeni koeficientin këndor të tangjentes ndaj vijës në pikën me abshisë x = -3. Argumentoni përgjigjen. ii. Gjeni ekuacionin e tangjentes. b) Gjeni…Faqja 103

48. Ushtrime 4.4B

    1Ushtrimi 1Drejtëza me ekuacion y = 1 - 3x është tangjente me vijën y = x² - 7x + k, ku k është konstante. a) Njehsoni vlerën e x në pikën ku tangjentja takon vijën. b) Më pas, gjeni vlerën e k.Faqja 106