Zgjidh një ushtrim për të parë kërkesën.

1. Ushtrime 4.1A

   1Ushtrimi 1Për secilin nga grafikët e mëposhtëm, gjeni pjesët, ku vija është e mysët dhe pjesët, ku vija është e lugët.Faqja 79
2. 2Ushtrimi 2Për secilin nga grafikët e dhënë: a) gjeni numrin e pikave të infleksionit; b) përshkruani ndryshimin e përkulshmërisë në secilën nga pikat e infleksionit.Faqja 79
3. 3Ushtrimi 3Përshkruani formën e secilës prej vijave rreth pikës së dhënë. Argumentoni përgjigjet. a) y = x² + 2x - 1 në pikën (1, 2) b) y = 1/x në pikën (-1, -1) c) y = (x+1)/x në pikën (1, 2) d) y = 1 + x - x²…Faqja 79
4. 4Ushtrimi 4Vija y = (1/3)x³ + 2x² + 4x ka një pikë horizontale infleksioni. a) Përcaktoni abshisën e kësaj pike. b) Tregoni që pjerrësia e vijës në këtë pikë është zero. c) Përcaktoni nëse vija është e mysët ap…Faqja 79
5. 5Ushtrimi 5Vija y = x⁴ - 2x³ ka dy pika infleksioni. Gjejini dhe përshkruajini ato.Faqja 79
6. 6Ushtrimi 6Përcaktoni dhe përshkruani pikat e infleksionit të vijës y = x² + 8/x.Faqja 79
7. 7Ushtrimi 7Përcaktoni dhe përshkruani pikat e infleksionit të vijës y = 3x⁵ - 10x³.Faqja 79
8. 8Ushtrimi 8a) Me anën e derivatit të dytë, tregoni që vija y = 1 + 2x - x² është gjithmonë e mysët. b) Tregoni që vija y = 1 - √(x), x 0, është gjithmonë e lugët.Faqja 79

9. Ushtrime 4.1B

   1Ushtrimi 1Skiconi vijat e mëposhtme. Gjeni pikat stacionare, pikat e infleksionit dhe pikëprerjet me boshtet. a) y = (x - 4)(x - 25)(x + 20) b) y = x⁴ - 24x³ - 540 c) y = x³ - 9x² + 24x - 16Faqja 81
10. 2Ushtrimi 2Duke përdorur derivatin e dytë, tregoni që funksioni i fuqisë së dytë i trajtës y = ax² + bx + c, a ≠ 0 është: a) gjithmonë i lugët, kur a 0; b) gjithmonë i mysët, kur a 0.Faqja 81
11. 3Ushtrimi 3a) Tregoni që grafiku i funksionit y = x⁴ + 8x³ + 25x² - 5x + 10 është i lugët për çdo vlerë të x. b) Tregoni që grafiku i funksionit y = 1 - 2x - 10x² + 4x³ - x⁴ është i mysët për çdo vlerë të x. c)…Faqja 81
12. 4Ushtrimi 4Trajta e përgjithshme e funksionit kubik, rrënjët e të cilit janë a, b dhe c, është y = k(x - a)(x - b)(x - c), ku k është konstante. Tregoni që pika e infleksionit të vijës e ka abshisën të barabart…Faqja 81
13. 5Ushtrimi 5Vija y = 3x⁵ - 5x³ ka tre pika stacionare. Gjeni rrënjët, pikat stacionare dhe pikat e infleksionit, duke treguar hapat e zgjidhjes. Më pas vizatoni vijën.Faqja 81
14. 6Ushtrimi 6Vija y = x⁴ - 2x³ - 12x² ka dy pika infleksioni. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga këto dy pika.Faqja 81
15. 7Ushtrimi 7Për cilat vlera të x, grafiku i funksionit y = x³ - ax² - ax, ku a është konstante, është i lugët? Jepni përgjigjen në varësi të a.Faqja 81
16. 8Ushtrimi 8Trajta e përgjithshme e një funksioni kubik është f(x) = ax³ + bx² + cx + d, ku a, b, c dhe d janë konstante dhe a 0. a) Çfarë kushtesh duhet të vendosen për a, b dhe c, në mënyrë të tillë që grafiku…Faqja 81
17. 9Ushtrimi 9Trajta e përgjithshme e funksionit të fuqisë së katërt është f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, ku a, b, c, d dhe e janë konstante dhe a ≠ 0. Çfarë kushtesh duhen vendosur për këta parametra, në mënyrë…Faqja 81

18. Ushtrime 4.2A

    1Ushtrimi 1Gjeni derivatin e secilit prej funksioneve të mëposhtme. a) 3 sin x b) (cos x)/3 c) 3 - cos x d) x + sin x e) x² + cos x f) sin x + cos x g) 3 sin x - 4 cos xFaqja 83
19. 2Ushtrimi 2Për secilin nga funksionet e mëposhtme, gjeni dy/(dx) dhe d²y/(dx²). a) y = 2 sin x b) y = 2x² - cos x c) y = 2 sin x - 3 cos x d) y = sin x + cos x + x³ e) y = (cos x - sin x)/2Faqja 83
20. 3Ushtrimi 3Argumentoni veprimet tuaja për kërkesat (a) - (e). a) Duke ditur që f(x) = 3 sin x, gjeni: i) f'((π/3)) ii) f”((π/3)) b) Duke ditur që f(x) = 2 cos x, gjeni: i) f'((π/6)) ii) f”((π/6)) c) Duke ditur…Faqja 83
21. 4Ushtrimi 4a) Duke zgjidhur ekuacionin dy/(dx) = 0, gjeni ekstremumet e vijës y = 1 + sin x, për 0 ≤ x ≤ 2π. Argumentoni zgjidhjen. b) Duke zgjidhur ekuacionin d²y/(dx²) = 0, gjeni pikat e infleksionit të vijës…Faqja 83
22. 5Ushtrimi 5Gjeni koeficientin këndor të tangjentes me vijën y = 5 sin x - √(3)cos x, në pikën me abshisë x = π/3. Argumentoni zgjidhjen.Faqja 83
23. 6Ushtrimi 6A është e mysët apo e lugët vija me ekuacion y = x + sin x, në pikën me abshisë x = π/3? Argumentoni zgjidhjen.Faqja 83
24. 7Ushtrimi 7Gjeni, nëpërmjet përkufizimit, derivatet e funksioneve të mëposhtme. a) 2 sin x b) -cos x c) -sin xFaqja 83

25. Ushtrime 4.2B

    1Ushtrimi 1Gjeni derivatin e parë të funksioneve të mëposhtme. a) (xsin x-x)/x b) (sin x)/(tgx) c) (sin x-tgx)/(tgx) d) 2tgx(cos x-((sin x)/(2tgx)))Faqja 84
26. 2Ushtrimi 2a) Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës y=sin x në pikën me abshisë x=π/3. Jepni përgjigjen në trajtën ax+by=c, duke e lënë c me vlerë të saktë. b) Kontrolloni nëse vija është e mysët në këtë pik…Faqja 84
27. 3Ushtrimi 3Gjeni derivatet e funksioneve të mëposhtme. a) (x²-xsin x)/(2x) b) (4-x³cos x)/x³ c) cos x(tgx+1) d) (cos²x-sin²x)/(cos x-sin x)Faqja 84
28. 4Ushtrimi 4Një vijë ka ekuacionin y = x²/(2π) - 2sin x. a) Gjeni koeficientin këndor të tangjentes në pikat me abshisat e mëposhtme. Argumentoni. i) 0 ii) π/2 iii) π iv) 3π/2 v) 2π b) Tregoni që funksioni i mës…Faqja 85
29. 5Ushtrimi 5Një karusel i madh vendoset në një qytet për të tërhequr turistët. Për të bërë një rrotullim të plotë, karuselit i duhen pak më shumë se 6 minuta 2π minuta. Lartësia vertikale e një pasagjeri të karu…Faqja 85
30. 6Ushtrimi 6Mund të jetë e dobishme që edhe viti të ndahet në 2π njësi më mirë se në 365 ditë. Ora e lindjes së diellit në një qytet, përgjatë vitit, mund të modelohet nga funksioni y = 12 - 5cos x, ku lindja e…Faqja 85
31. 7Ushtrimi 7Thellësia e ujit në një port, gjatë një dite, mund të modelohet nga funksioni y = 2sin(x + π/3) + 5, ku y metra është thellësia dhe x numri i orëve që kanë kaluar nga mesnata. a) Gjeni shpejtësinë e…Faqja 85
32. 8Ushtrimi 8a) A mund të gjeni, me anë të përkufizimit, derivatin e sin 2x? b) A mund të gjeni, me anë të përkufizimit, derivatin e sin ax, ku a është konstante?Faqja 85

33. Ushtrime 4.3A

    1Ushtrimi 1Derivoni secilin nga funksionet e mëposhtme. a) 5e^(x) - 3x² b) x⁻¹ + e^(x)Faqja 87
34. 2Ushtrimi 2Gjeni dy/(dx) dhe d²y/(dx²) për secilin nga funksionet e mëposhtme. a) e^(x) - e^(2x) b) 6e^(0,5x)Faqja 87
35. 3Ushtrimi 3Gjeni derivatin e parë dhe të dytë për secilin nga funksionet e mëposhtme. a) f(x) = 3ln x b) f(x) = 1 - 2ln x c) f(x) = ln x⁵ d) f(x) = ln 3x²Faqja 87
36. 4Ushtrimi 4Gjeni derivatin e secilit prej funksioneve të mëposhtme. a) 5^(x) b) (3^(x))/5 c) 8^(x) - 7^(x)Faqja 87
37. 5Ushtrimi 5Për kërkesat (a) - (c), argumentoni veprimet: a) f(x) = 3e^(x), gjeni f'(0); b) f(x) = x - 2e^(x), gjeni f'(1); c) f(x) = x² + 3e^(2x), gjeni f'(0,5);Faqja 87
38. 6Ushtrimi 6Gjeni koeficientin këndor të tangjentes të secilës nga vijat e mëposhtme, në pikat e dhëna. Argumentoni zgjidhjen. a) y = 3e^(x) në pikën (0, 3) b) y = 5e^(x) në pikën (1, 5e) c) y = 5^(x) në pikën (…Faqja 87

39. Ushtrime 4.3B

    1Ushtrimi 1Në një fermë shpendësh, numri i çifteve riprodhuese të fazanëve jepet nga funksioni P = 100e^(0,095t) - 50, ku P është numri i çifteve riprodhuese në fillim të vitit t. Fillimisht, t = 0. a) Sa kohë…Faqja 88
40. 2Ushtrimi 2Një enëlarëse e re kushton 17 000 lekë. Për shkak të amortizimit dhe faktorëve të tjerë, vlera e saj bie. Vlera aktuale e enëlarëses, në lekë, në vitin t paraqitet nga funksioni y = 23 000e^(-0,134t)…Faqja 89
41. 3Ushtrimi 3Një filxhan çaj bëhet me ujë që zien. I lënë në një tavolinë, filxhani do të ftohet sipas modelit X = Ae^(-kt) + R, ku X^(∘) C është temperatura t minuta pasi është bërë çaji. R = 18^(∘)C është tempe…Faqja 89
42. 4Ushtrimi 4Një matës lartësie punon me parimin, që lartësia është funksion i trysnisë atmosferike. Kur lartësia është a metra mbi nivelin e detit, trysnia atmosferike është P njësi dhe a = 54098 - 8155,5 ·ln P…Faqja 89
43. 5Ushtrimi 5Një parazit ka infektuar një kope delesh. Sipërfaqja e habitatit të deleve spërkatet me një insekticid eksperimental. Një kampion nga kopeja e deleve kontrollohet në ditën e parë dhe në ditën e shtat…Faqja 89
44. 6Ushtrimi 6Një zog detar në çastin e lindjes (t = 1) peshon 80 g. Më pas, ai rritet me shpejtësi dhe pas 30 ditësh peshon 1050 g, sa 75% e peshës së një zogu të rritur. Përgjatë këtyre 30 ditëve, pesha p g, mun…Faqja 89

45. Ushtrime 4.4A

    1Ushtrimi 1Derivoni secilin nga funksionet e mëposhtme. a) xsin x b) xe^(x) c) e^(x)cos x d) 3xln x e) sin xln x f) e^(3x)(x²+1) g) √(x)ln 3x h) (1/x)cos x i) (x+(1/x))(x-(1/x)) j) e^(3x)ln x k (2x³+2x)(x-x²) l…Faqja 91
46. 2Ushtrimi 2a) Duke e shprehur sin²x=sin x·sin x , gjeni derivatin e y=sin²x . b) Gjeni derivatin e y=cos²x . c) Duke përdorur faktin që sin 2x=2sin x·cos x , gjeni derivatin e y=sin 2x . d) Duke përdorur faktin…Faqja 91
47. 3Ushtrimi 3Argumentoni veprimet për kërkesat (a) - (c). a) Jepet f(x)=xsin x . Gjeni: i) f'((π/2)) ii) f'((π/6)) b) Jepet f(x)=x³e^(x) . Gjeni: i) f'(0) ii) f'(-1) c) Jepet f(x)=(x²+2x+1)(1-3x-x²) . Gjeni: i) f…Faqja 91
48. 4Ushtrimi 4Gjeni derivatin e secilit prej funksioneve të mëposhtme. a) (x+1)/(x-1) b) (sin x)/x c) (sin x)/(e^(x)) d) (x²+1)/(x+1) e) (cos x)/(sin x) f) (ln x)/x g) 3/(sin x) h) x/(cos x) i) x²/(1-√(x)) j) (x²-…Faqja 91