Ushtrimi 15

Matematikani indian Brahmagupta (598 - 670) gjeti një formulë për të njehsuar syprinën e një katërkëndëshi, kulmet e të cilit ndodhen në një rreth.

Në qoftë se brinjët e katërkëndëshit janë $a, b, c$ dhe $d$ dhe $p = \frac{a+b+c+d}{2}$, atëherë syprina është

$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

Katërkëndëshi me brinjë me gjatësi $5 + 5\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}, 6 + 4\sqrt{2}$ dhe $2 + 4\sqrt{2}$ cm është brendashkruar në një rreth. Tregoni që

$$S = 2(1 + \sqrt{2})\sqrt{15(11 + 8\sqrt{2})}.$$